Bogenphysik, Längenänderung eines Bogen
Verfasst: 19.04.2015, 00:14
Mal ein paar Zahlenspielereien zum Thema Längenänderungen am Bogen.
Nehmen wir dazu ein paar völlig aus der Luft gegriffene Werte.
Eine gerade Holzleiste von 15mm Dicke soll einen Pfeil mit ungefähr 30" Auszug beschleunigen.
30" = 76,40cm = der Radius eines perfekten Kreissegments.
Radius x 2 = Durchmesser eines Kreises = 152,80cm
Durchmesser x pi = Umfang
152,80 cm x pi = ~ 480cm
Da es ein perfekter Bogen ist und der sich zum perfekten Kreissegment biegt, ist die Sehnenlänge genau 2 x der Radius, da der Bogen im Vollauszug einen Sehnenwinkel von 90° haben soll.
Also auch genau 152,80cm
Die Sehne eines Langbogens ist ungefähr 3" kürzer wie der Bogen (hängt ein wenig von der Standhöhe ab).
3" = 7,62cm
152,80cm + 7,62cm = 160,42cm
Rechnen wir der Einfachheit halber, einfach mit 160cm weiter, ist auch zufällig genau ein drittel des Kreisumfanges.
Also biegen wir einfach die Leiste von 160cm Länge und 15mm Dicke zu einen Drittelkreis, oder aber, auch der Einfachheit halber, eine 480cm Lange Leiste zu einen Vollkreis.
Aber wenn die Leiste genau 480cm hat und der Umfang aussen jetzt 480cm hat, wie ist dann der innere Durchmesser des Vollkreises, die Leiste ist ja 15mm Dick?
Also 152,80cm minus 30mm (2 x die Dicke) = 149,80cm Innendurchmesser
149,80cm mal pi = ~ 470,6cm ; upps, die Holzleiste muß dafür auf der Innenseite 9,4cm kürzer werden, bzw gestaucht werden.
Für den Drittelanteil unseres Bogens bedeutet das immer noch ~ 3,1cm die der Bogenbauch gestaucht werden muß!
Gegenrechnung: Der Innendurchmesser unseres Vollkreises bleibt bei 480cm, dann ist der Außendurchmesser jetzt 152,80cm + 3,00cm = 155,80cm x pi = ~ 489,46cm, jetzt muß die Leiste 9,4cm Länger werden!
Man kann diesen Bogen rechnen wie man will, die Länge der 15mm dicken Leiste von 160cm im geraden Zustand, ändert sich um etwa 3,1cm (2 x Wurfarmdicke) im Vollauszug!
Was Wissen wir noch über Holz? Die Zugfestigkeit ist zwei bis dreimal so Hoch wie die Druckfestigkeit, also wird sich die Längenänderung zum Großteil durch eine Kompression des Bogenbauches darstellen.
Was Wissen wir noch? Gutes Holz läßt sich maximal 2% Komprimieren, also 2% von 160cm sind 3,2cm.
So ein Bogen ließe sich also rechnerisch bauen.
In der Praxis ist 160cm für 30" Auszug ein wenig arg kurz und 15mm für solche Biegeradien ein wenig viel, aber eine Längenänderung von 1,5cm - 2,5cm findet auch an einen 190cm langen ELB statt, oder an einen 175cm langen Flachbogen.
Mit Mathematik kann man keinen Bogen tillern, aber manchmal kann sie Vorgänge erklären oder sogar anschaulich machen. Zum Glück versteht Holz nichts von Physik oder Mathematik und rechnet nach, es hält oder bricht, ganz einfach.
Was man sich aber merken sollte ist, ein Bogen macht eine Längenänderung von Ungespannt bis zum Vollauszug zwischen Bogenrücken und Bogenbauch mit, die etwa der doppelten mittleren Wurfarmdicke entspricht!
Diese Längenänderung sorgt für die große Zugbelastung des Bogenrückens und für die Druckbelastung des Bogenbauchs, und natürlich auch für große Scherkräfte im Holz (oder dem Wurfarmmaterial) dazwischen, hier wird die Energie gespeichert!
Gruß Dirk
Nehmen wir dazu ein paar völlig aus der Luft gegriffene Werte.
Eine gerade Holzleiste von 15mm Dicke soll einen Pfeil mit ungefähr 30" Auszug beschleunigen.
30" = 76,40cm = der Radius eines perfekten Kreissegments.
Radius x 2 = Durchmesser eines Kreises = 152,80cm
Durchmesser x pi = Umfang
152,80 cm x pi = ~ 480cm
Da es ein perfekter Bogen ist und der sich zum perfekten Kreissegment biegt, ist die Sehnenlänge genau 2 x der Radius, da der Bogen im Vollauszug einen Sehnenwinkel von 90° haben soll.
Also auch genau 152,80cm
Die Sehne eines Langbogens ist ungefähr 3" kürzer wie der Bogen (hängt ein wenig von der Standhöhe ab).
3" = 7,62cm
152,80cm + 7,62cm = 160,42cm
Rechnen wir der Einfachheit halber, einfach mit 160cm weiter, ist auch zufällig genau ein drittel des Kreisumfanges.
Also biegen wir einfach die Leiste von 160cm Länge und 15mm Dicke zu einen Drittelkreis, oder aber, auch der Einfachheit halber, eine 480cm Lange Leiste zu einen Vollkreis.
Aber wenn die Leiste genau 480cm hat und der Umfang aussen jetzt 480cm hat, wie ist dann der innere Durchmesser des Vollkreises, die Leiste ist ja 15mm Dick?
Also 152,80cm minus 30mm (2 x die Dicke) = 149,80cm Innendurchmesser
149,80cm mal pi = ~ 470,6cm ; upps, die Holzleiste muß dafür auf der Innenseite 9,4cm kürzer werden, bzw gestaucht werden.
Für den Drittelanteil unseres Bogens bedeutet das immer noch ~ 3,1cm die der Bogenbauch gestaucht werden muß!
Gegenrechnung: Der Innendurchmesser unseres Vollkreises bleibt bei 480cm, dann ist der Außendurchmesser jetzt 152,80cm + 3,00cm = 155,80cm x pi = ~ 489,46cm, jetzt muß die Leiste 9,4cm Länger werden!
Man kann diesen Bogen rechnen wie man will, die Länge der 15mm dicken Leiste von 160cm im geraden Zustand, ändert sich um etwa 3,1cm (2 x Wurfarmdicke) im Vollauszug!
Was Wissen wir noch über Holz? Die Zugfestigkeit ist zwei bis dreimal so Hoch wie die Druckfestigkeit, also wird sich die Längenänderung zum Großteil durch eine Kompression des Bogenbauches darstellen.
Was Wissen wir noch? Gutes Holz läßt sich maximal 2% Komprimieren, also 2% von 160cm sind 3,2cm.
So ein Bogen ließe sich also rechnerisch bauen.
In der Praxis ist 160cm für 30" Auszug ein wenig arg kurz und 15mm für solche Biegeradien ein wenig viel, aber eine Längenänderung von 1,5cm - 2,5cm findet auch an einen 190cm langen ELB statt, oder an einen 175cm langen Flachbogen.
Mit Mathematik kann man keinen Bogen tillern, aber manchmal kann sie Vorgänge erklären oder sogar anschaulich machen. Zum Glück versteht Holz nichts von Physik oder Mathematik und rechnet nach, es hält oder bricht, ganz einfach.
Was man sich aber merken sollte ist, ein Bogen macht eine Längenänderung von Ungespannt bis zum Vollauszug zwischen Bogenrücken und Bogenbauch mit, die etwa der doppelten mittleren Wurfarmdicke entspricht!
Diese Längenänderung sorgt für die große Zugbelastung des Bogenrückens und für die Druckbelastung des Bogenbauchs, und natürlich auch für große Scherkräfte im Holz (oder dem Wurfarmmaterial) dazwischen, hier wird die Energie gespeichert!
Gruß Dirk
(Eppur si muove 
)
